Урок 1: Математическое моделирование


Люди издавна интересуются, как устроена наша Вселенная. Этот интерес не только чисто познавательный, но и сугубо практический, ибо люди хотели научиться предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как затмения Солнца и Луны, наступление времен года и т. д.

Для решения этих задач ученые строили свои представления о Вселенной в виде схемы — картины мира, в которой объекты Вселенной — Солнце и звезды, планеты, Земля и Луна изображались точками, движущимися по каким-то кривым — траекториям их движения. Таковы, например, схемы, построенные Птолемеем, в которых центральное место занимала наша Земля, или схема Коперника, в которой центр занимало Солнце. С помощью этих схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономических явлений.

Эти схемы, эти картины мира суть модели Вселенной, а метод исследования Вселенной, нахождения законов о Вселенной и решения задач, связанных с нею, с помощью этих моделей является методом моделирования.

Разрезая конус плоскостями, получаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы. Математики еще в древности начали изучение этих кривых, результаты которых имеют большое значение для физики, астрономии, техники, военного дела, где очень часто встречаются эти кривые. Однако лишь тогда, когда, пользуясь методом Декарта и Ферма, были составлены уравнения этих кривых, их изучение сразу резко подвинулось вперед и с помощью этих уравнений — моделей кривых конических сечений — были решены все основные задачи, с ними связанные. Заметим, что уравнения выступают в качестве моделей окружности, эллипса, параболы и гиперболы, а эти кривые в свою очередь можно рассматривать как геометрические модели указанных уравнений.

Моделирование — это метод исследования каких-либо явлений, процессов или систем объектов, который предполагает создание искусственных или естественных систем (моделей), имитирующих существенные свойства оригинала; использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

Моделирование — одна из основных категорий теории познание: на идее моделирования по существу базируется любой метод научного исследования — как теоретический (при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).

Математическая модель


Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей, а является его приближённым отображением.
Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
Из определения моделей важны две характеристики: модель замещает объект изучения; находится с ним в определённых отношениях. Степень соответствия модели оригиналу может быть различной: подобие, аналогия, изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие структур модели и прототипа), гомоморфизм (обобщённое соответствие).
Моделирование — это процесс создания моделей и работа с ними.
Главные функции моделей — описательная, конструктивная и эвристическая.
Описательная функция модели состоит в том, что в исследуемом объекте выделяются и обобщаются существенные компоненты и взаимосвязи между ними.
Конструктивная функция модели состоит в её способности служить ориентиром, применять добытые знания в новых ситуациях.
Эвристическая функция модели способствует прогнозированию.
В зависимости от основной дидактической функции различают три вида моделей: описательные, конструктивные и эвристические. Описательные модели дают возможность сжато излагать информацию и воспроизводить её. Конструктивные модели больше ориентированы на применение знаний, эвристические — на овладение новыми знаниями, обобщение и систематизацию. При этом форма моделей может быть различной: модельная схема, знаковая модель, графическая, образная и т.д.

Математическое моделирование как метод


Метод построения математических моделей — метод математического познания действительности изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.
Математическая модель — это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений, векторов и т.п.).
Математическое моделирование — описание анализируемого объекта внешнего мира с помощью математической символики.
Как алгоритм математической деятельности метод математического моделирования содержит три этапа:
-  построение математической модели объекта (явления, процесса);
- исследование полученной модели, т. е. решение полученной математической задачи средствами математики;
- интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.
При этом должны соблюдаться следующие требования:
- модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств;
- модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при её построении допущениями;
-  модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.
Во введении понятий математическая модель и моделирование позволяют решать в учебном процессе следующие актуальные задачи:
- развитие мышления и интеллекта;
- формирование мировоззрения;
- овладение элементами математической культуры.
После того как математическая модель построена, возможны два случая:
- полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами;
- эта модель не укладывается ни в одну из известных схем (классов) моделей, разработанных в математике, и тогда возникает внутри математическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.
Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим объектам того же класса.
Обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач ("подводящих" задач) с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих математических моделей. Затем объектом изучения становятся уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширению теоретических знаний учащихся. После того, как соответствующая теория построена, её аппарат применяется к решению исходной задачи, а также других задач из других областей, но приводящих к моделям этого же класса. Так можно строить изучение каждого нового вида функций, уравнений, производной, интеграла, операций над векторами, вывода формул вычисления площадей и объемов и т.п.

Классификация моделей


На практике важно различать материальные и идеальные (мысленные) модели.

Идеальные модели, применяемые при изучении естественно-математических дисциплин, позволяют решать задачи, требующие переноса знаний в новую ситуацию. Ведь модель — это мостик от абстрактного к конкретному, по которому движется мысль ученика.

В зависимости от основной дидактической функции различают три вида моделей: описательные, конструктивные и эвристические. Описательные модели дают возможность сжато излагать информацию и воспроизводить её. Конструктивные модели больше ориентированы на применение знаний, эвристические — на овладение новыми знаниями, обобщение и систематизацию.

При этом форма моделей может быть различной: модельная схема, знаковая модель, графическая, образная и т.д.

Мордкович пишет: "Нам нужно научиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель). Бывают еще геометрические модели реальных ситуаций — они изучаются в курсе геометрии. Графические модели также иногда называют геометрическими, а вместо термина "алгебраическая модель" используют термин "аналитическая модель". Все это — виды математических моделей."

Костевич, Лапко: "Математические модели, используемые в исследовании явлений, можно разделить на статистические и аналитические. Статистические модели позволяют наиболее полно учитывать все связи, факторы, описывающие явление, и заменять однократное исследование сложной модели многократным исследованием простых моделей. Аналитические модели с помощью алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений позволяют установить формульные зависимости между основными факторами явлений. Чаще всего применяются совместно аналитические и статистические модели явлений."

Штофф В.А.: "Выделяют вещественные и мысленные типы моделей. Вещественные модели допускают предметное преобразование. Первый тип подразделяется на два подтипа:
- модели, отображающие пространственные особенности объектов (например, макеты);
- модели, имеющие физическое подобие оригинала (например, модель плотины).

Математические модели относятся к мысленным. Среди них можно выделить:
- образно-графические (схемы, диаграммы, чертежи, рисунки и т. п.);
- знаковые модели (пример, формула алгебраического уравнения и т.п.);
- смешанные (например, таблицы).

Знаковые модели требуют специальной интерпретации, без которой — сами по себе — они теряют функцию моделей."

Можно классифицировать модели по отраслям наук: математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.

Есть классификация по применяемому математическому аппарату: модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.

Человек, интересующийся общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, ставящий на первое место цели моделирования, скорее заинтересуется такой классификацией: дескриптивные (описательные модели), оптимизационные модели, многокритериальные модели, игровые модели, имитационные модели.







Подписаться на: Сообщения (Atom)